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第七十七章 连分数的奥秘与小组的新课题（第2页）

苏白用粉笔指着黑板：

“更重要的是，截取连分数的前几项，可以得到这个无理数的一系列‘最佳有理数逼近’。”

他举了个例子，计算√2的前几个渐近分数：1，32，75，1712…

“你们看，这些分数越来越接近√2的真实值，而且在一定意义上，它们是所有分母不超过某个数的分数中，最接近√2的那个。”

苏白解释道：

“这种‘最佳逼近’性质在数值计算、历法制定，比如闰年的设置、甚至音乐理论中都有应用。”

林薇薇看着黑板上的计算过程，虽然有些符号陌生，但“最佳逼近”这个概念让她觉得很新奇：

“也就是说，用分数就能很好地近似像根号2这样的‘怪数’？”

“对！”

苏白肯定道：“而且连分数本身的结构也很有趣，比如可以研究它的循环节长度与数论性质的关系。”

张涛虽然对背后的理论半懂不懂，但听到“历法”、“音乐”这些词，也来了兴趣：

“听起来挺酷的！怎么算这个连分数呢？”

苏白见大家都产生了兴趣，便详细讲解了如何将一个实数（有理数或无理数）化为连分数的“手算”步骤：

取整数部分，取倒数，再取整数部分，如此循环。

他以√2和圆周率π的近似值355113为例，一步步演示了计算过程。

【叮！宿主引导小组成员探索连分数理论，展现数学不同领域的联系与应用，科学点+12！】

【当前科学点：954+12=966点】

接下来的小组活动，大家便沉浸在了连分数的奇妙世界里。

他们分工合作，尝试将不同的数（如黄金比例φ、√3等）展成连分数，计算其渐近分数，并验证其“最佳逼近”性质。

李浩负责理论推导和验证，林薇薇和张涛负责具体计算和制表，苏白则统筹全局，解答疑难，并引导大家思考更深层次的问题，比如为什么连分数逼近会如此有效。

“太神奇了！”

林薇薇看着计算出的渐近分数序列越来越接近目标值，惊叹道：

“感觉像剥洋葱一样，一层层揭开一个数的‘内核’！”

张涛也咋舌：

“用分数逼近无理数，这想法真绝了！比死记硬背小数位数有意思多了！”

李浩则陷入了沉思：

“这种逼近的误差估计和收敛速度，应该可以用不等式来精确描述……”